Phương trình vi phân cấp 1
Shortlink: http://wp.me/P8gtr-MY
1. Định nghĩa:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình bao gồm dạng:
trong kia p(x), q(x) là hầu như hàm số liên tục, mang lại trước.
Bạn đang xem: Phương trình vi phân cấp 1
Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được call là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu q(x) ≠0, thì (1) được call là phương trình vi phân đường tính cấp 1 không thuần nhất.
2. Bí quyết giải:
2.1 cách 1: cách thức thừa số tích phân:
Nhân 2 vế của (1) với vượt số
Ta được:
ta chăm chú vế trái của phương trình vẫn thấy biểu thức sinh sống vế trái chính là đạo hàm của tích số
Lấy tích phân nhì vế ta được:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) gồm dạng:
Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y vào trường hợp hệ số của y’ bởi 1.
Ví dụ: Giải phương trình
Nhân 2 vế của phương trình với thừa số
Xem thêm: Cách Pha Tinh Dầu Khuếch Tán Tinh Dầu, Cách Sử Dụng Máy Khuếch Tán Tinh Dầu Hiệu Quả
Ta đươc:
Hay:
Lấy tích phân 2 vế ta được:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
2.2 phương pháp 2: phương pháp Bernoulli (pp kiếm tìm nghiệm dưới dạng tích)
Từ phương pháp thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của nhì hàm số. Vày vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Hay:
Phương trình (*) bao gồm tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ yêu cầu không thể giải search u, v bất kỳ. Để tra cứu u, v thỏa mãn nhu cầu phương trình (*), ta yêu cầu chọn u, v sao để cho triệt tiêu đi 1 hàm không biết.
Muốn vậy, ta lựa chọn u(x) sao cho
Ta thuận lợi tìm được hàm u(x) thỏa (**) vị (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:
Chọn C = 1 ta có:
Như vậy ta kiếm được hàm u(x) buộc phải từ (*) ta vẫn có:
Vậy, nghiệm bao quát của phương trình (1) là:
2.3 cách 3: phương pháp Larrange (pp phát triển thành thiên hằng số)
Từ giải pháp 2 ta thấy nghiệm phương trình gồm dạng
Do vậy, giải phương trình vi phân con đường tính thuần nhất cấp 1 ta search được:
Mà cách làm nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là:
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) vẫn giải được bài toán. Vậy:
Bước 1: giải phương trình con đường tính thuần nhất cấp 1 links với phương trình (1):
Nghiệm bao quát của phương trình thuần nhất bao gồm dạng:
Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến đường tính không thuần độc nhất (1) tất cả dạng:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Suy ra:
Nhận xét:
Trong 3 biện pháp thì cách thứ 3 là phương pháp mà ta không hẳn nhớ công thức như bí quyết 1 và giải pháp 2. Bên cạnh đó ở bí quyết 3, trong bước 2 khi vắt vào phương trình nhằm tìm hàm v(x), ta luôn luôn khử được đông đảo gì tương quan đến v(x) và chỉ còn lại v"(x). Do đó, nếu khi thế vào mà lại ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta cố sai, hoặc ở cách 1 ta đã giải sai. Điều này đang giúp các bạn dễ dàng kiểm tra quá trình giải của chính mình và kịp lúc phát hiện tại sai sót.
