Mặt cầu nội tiếp hình chóp
1. Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt mong nằm bên phía trong hình chóp cùng tiếp xúc với toàn bộ các phương diện của hình chóp.
Bạn đang xem: Mặt cầu nội tiếp hình chóp
2. Điều kiện nhằm một hình chóp đỉnh S tất cả hình mong nội tiếp trọng điểm I là trên dưới mặt đáy có một điểm M biện pháp đều tất cả các mặt bên của hình chóp và khi ấy I nằm tại đoạn SM.
3. Tâm hình ước nội tiếp phương pháp đều toàn bộ các phương diện của hình chóp vào nằm trên phân giác của góc nhị diện tạo do hai khía cạnh kề nhau của hình chóp.
4. Nếu một khối nhiều diện tất cả hình cầu nội tiếp thì bán kính của nó được tính theo công thức:
$r=frac3VS_tp$ , V: thể tích khối đa diện;
$S_tp$ diện tích toàn phần khối nhiều diện.
B. Bài tập
Bài 1. Trong phương diện phẳng (P) cho hình thang ABCD cân, lòng là AB cùng CD ngoại tiếp đường tròn (C) trung tâm O, nửa đường kính R. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) tại O, rước điểm S thế nào cho OS = 2R. đưa sử CD = 4AB.
a) Tính diện tích s toàn phần cùng thể tích của hình chóp SABCD.
b) chứng minh rằng O giải pháp đều 4 mặt mặt của hình chóp SABCD. Từ đó tìm trọng tâm và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp.
Giải
a) Hình thang ABCD có những cạnh xúc tiếp với mặt đường tròn tại M, N, P, Q. (Hình vẽ bên)
Đặt AB = 2x $Rightarrow $ CD = 8x $Rightarrow $AD = 5x
Ta bao gồm $AD^2=AAprime ^2+DAprime ^2$ (A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A lên CD)
$Rightarrow x=fracR2$
$Rightarrow SM=sqrtSO^2+OM^2=sqrt4R^2+R^2=Rsqrt5$
Do những mặt bên của hình chóp là các tam giác có đường cao bằng $Rsqrt5$ đề xuất ta có:
= $frac12$.$Rsqrt5$.10R + $frac12$5R.2R
$Leftrightarrow S_tp=5R^2left( 1+sqrt5 ight)$
$V=frac13Bh=frac13.5R^2.2RLeftrightarrow V=frac10R^33$
b) khoảng cách từ O đến 4 mặt bên chính là độ nhiều năm của 4 con đường cao khởi nguồn từ O của tam giác vuông và bằng nhau SOM, SON, SOP, SOQ. Suy ra O phương pháp đều 4 mặt mặt của hình chóp.
Vậy hình chóp có mặt cầu nội tiếp trọng tâm I nằm trên đoạn SO. Vì chưng I biện pháp đều 2 phương diện (SAD) với (ABCD) buộc phải I là nằm ở phân giác của góc
Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp thì:
$r=frac3VS_tp=frac10R^35R^2left( 1+sqrt5 ight)Leftrightarrow r=fracRleft( sqrt5-1 ight)2$
Bài 2. mang đến tứ diện ABCD cùng với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a.
a) Tính diện tích s mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) chứng tỏ rằng có một mặt mong nội tiếp tứ diện.
Xem thêm: Subeo Và Cường Đô La
Giải
a) hotline I, J là trung điểm của AB với CD.
Ta gồm IJ$ot $AB, IJ$ot $CD.
Gọi O là trung điểm IJ thì ta tất cả OA = OB cùng OC = OD, bên cạnh đó AB = CD = c buộc phải hai tam giác vuông OIB với OJC cân nhau nên: OA = OB = OC = OD = R. Vậy O bí quyết đều 4 đỉnh A, B, C, D
$Rightarrow $ Mặt ước ngoại tiếp tứ diện ABCD có $R^2=OA^2=OI^2+AI^2=fracIJ^2+c^24$
Vì CI là trung con đường $Delta $ABC nên: $CI^2=frac2a^2+2b^2-c^24$
Suy ra $IJ^2=CI^2-CJ^2=fraca^2+b^2-c^22$
Như vậy $R^2=OA^2=fraca^2+b^2+c^28$ và ăn diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S=4pi R^2=fracpi 2left( a^2+b^2+c^2 ight)$
b) các mặt của tứ diện là các tam giác đều nhau nên các đường tròn ngoại tiếp những tam giác kia có bán kính r bởi nhau. Các đường tròn đó đều nằm bên trên mặt mong (O; R) nên khoảng cách từ O đến những mặt phẳng chứa các đường tròn đó bằng nhau và bằng: h =$sqrtR^2-r^2$ .
Vậy mặt cầu tâm O, bán kính h là mặt ước nội tiếp tứ diện ABCD.
Bài 3. cho tứ diện OABC trong những số ấy OA, OB, OC đối mặt vuông góc với nhau. Kẻ đường cao OH = h. Gọi r là nửa đường kính hình mong nội tiếp tứ diện. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của $frachr$ .
Giải
Đặt OA = a, OB = b, OC = c.
Ta tất cả : $frac1h^2=frac1a^2+frac1b^2+frac1c^2$ (1) và $r=frac3VS_tpRightarrow frac1r=fracS_tp3V$
Mà $fracS_tp3V=fracS_Delta OAB+S_Delta OBC+S_Delta OAC+S_Delta ABC3V=frac1a+frac1b+frac1c+frac1h$
$Rightarrow frac1r=frac1a+frac1b+frac1c+frac1hLeftrightarrow frac1r-frac1h=frac1a+frac1b+frac1c$ (2)
Ta lại có: $left( frac1a+frac1b+frac1c ight)^2le 3left( frac1a^2+frac1b^2+frac1c^2 ight)$ (3)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Từ (1) cùng (3)
Từ (2) với (4) $Rightarrow frac1r-frac1hle fracsqrt3hLeftrightarrow frac1rle frac1hleft( 1+sqrt3 ight)Leftrightarrow frachrle 1+sqrt3$
Suy ra $frachr$ lớn nhất $=1+sqrt3Leftrightarrow a=b=c$
Vậy $frachr$ max là $1+sqrt3$ lúc OA = OB = OC.
Bài 4. Cho r, R theo lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp của một tứ diện có thể tích là V. Chứng minh rằng: $8R^2rge 3sqrt3V$
Giải
Gọi O, G theo thứ tự là vai trung phong mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện ABCD. Đặt BC = a, AD = a’, CA = b, BD = b’, AB = c, CD = c’ cùng $S_a,S_b,S_c,S_d,S_tp$ lần lượt là diện tích các mặt đối diện với những đỉnh A, B, C, D và mặc tích toàn phần của tứ diện.
Ta có: $overrightarrowAB=overrightarrowOB-overrightarrowOARightarrow overrightarrowAB^2=2R^2-2overrightarrowOA.overrightarrowOBRightarrow 2.overrightarrowOA.overrightarrowOB=2R^2-AB^2$
Mặt khác $4overrightarrowOG=overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD$ buộc phải suy ra
$16OG^2=4R^2+left( 2R^2-AB^2 ight)+left( 2R^2-BC^2 ight)+left( 2R^2-CD^2 ight)+left( 2R^2-DA^2 ight)+left( 2R^2-DB^2 ight)+left( 2R^2-AC^2 ight)$$Leftrightarrow 16OG^2=4R^2+12R^2-left( a^2+b^2+c^2+aprime ^2+bprime ^2+cprime ^2 ight)ge 0$
$Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+aprime ^2+bprime ^2+cprime ^2le 16R^2$ (1)
Bổ đề: trong $Delta $ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AD = c, S là diện tích s tam giác thì:
$a^2+b^2+c^2ge 4Ssqrt3$
Thật vậy: $S=sqrtpleft( p-a ight)left( p-b ight)left( p-c ight)le sqrtp.left< fracp-a+p-b+p-c3 ight>^3$ (Theo bất đẳng thức Cô si) $Leftrightarrow Sle fracp^23sqrt3Leftrightarrow 3sqrt3Sle p^2Leftrightarrow 12sqrt3Sle left( a^2+b^2+c^2 ight)le 3left( a^2+b^2+c^2 ight)$
$Rightarrow a^2+b^2+c^2ge 4sqrt3S$
Áp dụng cho những mặt của tứ diện: $a^2+b^2+c^2ge 4S_dsqrt3$ và tương tự như cho $S_a,S_b,S_c$.
Cộng lại ta được: $2left( a^2+b^2+c^2+aprime ^2+bprime ^2+cprime ^2 ight)ge 4sqrt3S_tp$ (2)
Từ (1) cùng (2) $Rightarrow 16R^2ge 2sqrt3S_tpLeftrightarrow 8R^2ge sqrt3S_tp$ (3)
